Grupos de Chow

Na geometria algébrica, os grupos de Chow (batizados em homenagem a Wei-Liang Chow por Claude Chevalley em 1958) são grupos associados a uma variedade algébrica sobre um corpo e que desempenham, no contexto algébrico-geométrico, papel análogo ao da homologia em topologia. Seus elementos são classes de ciclos algébricos (combinações formais de subvariedades) análogas às cadeias usadas na homologia simplicial ou celular. Quando a variedade é suave, os grupos de Chow podem ser vistos como uma teoria de tipo cohomológico (cf. dualidade de Poincaré), e admitem um produto interno, o produto de…

Equivalência racional e grupos de Chow Para o que segue, uma variedade sobre um corpo

{\displaystyle k}

será um esquema integral de tipo finito sobre

{\displaystyle k}

. Se

{\displaystyle X}

é um esquema de tipo finito sobre

{\displaystyle k}

, um ciclo algébrico em

{\displaystyle X}

é uma combinação linear finita de subvariedades (fechadas) de

{\displaystyle X}

, com coeficientes em inteiros. Para um número natural

{\displaystyle i}

, denota-se por

( X )

{\displaystyle Z_{i}(X)}

o grupo dos ciclos de dimensão

{\displaystyle i}

(ou

{\displaystyle i}

-ciclos), isto é, o grupo abeliano livre gerado pelo conjunto das subvariedades de dimensão

{\displaystyle i}

{\displaystyle X}

. Seja

{\displaystyle W}

uma variedade de dimensão

i + 1

{\displaystyle i+1}

, e seja

{\displaystyle f}

uma função racional em

{\displaystyle W}

que não seja identicamente nula. O divisor de

{\displaystyle f}

define um

{\displaystyle i}

-ciclo

( f ) =

∑

ord

⁡ ( f )

Z ,

{\displaystyle (f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)\,Z,}

em que a soma percorre as subvariedades

Z <

m a t h s u b s e t W

{\displaystyle Z</mathsubsetW}

de dimensão

{\displaystyle i}

ord

⁡ ( f )

{\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}

é a ordem de anulação de

{\displaystyle f}

ao longo de

{\displaystyle Z}

(negativa quando há polo ao longo de

{\displaystyle Z}

). Para

{\displaystyle W}

singular, a definição de

ord

⁡ ( f )

{\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}

requer cuidado. Para um esquema

{\displaystyle X}

de tipo finito sobre

{\displaystyle k}

, diz-se que um

{\displaystyle i}

-ciclo é racionalmente equivalente a zero se pertence ao subgrupo de

( X )

{\displaystyle Z_{i}(X)}

gerado pelos ciclos

( f )

{\displaystyle (f)}

, quando

{\displaystyle W}

varia entre as subvariedades de dimensão

i + 1

{\displaystyle i+1}

{\displaystyle X}

{\displaystyle f}

varia entre funções racionais não nulas em

{\displaystyle W}

. O grupo de Chow de dimensão

{\displaystyle i}

é então o quociente

( X ) :=

( X )

∼

r a t

{\displaystyle CH_{i}(X):=Z_{i}(X){\big /}\sim _{\mathrm {rat} },}

onde

∼

r a t

{\displaystyle \sim _{\mathrm {rat} }}

é a equivalência racional. Costuma-se escrever

[ Z ]

{\displaystyle [Z]}

para a classe de uma subvariedade

{\displaystyle Z}

( X )

{\displaystyle CH_{i}(X)}

; se

[ Z ] = [ W ]

{\displaystyle [Z]=[W]}

, diz-se que

{\displaystyle Z}

{\displaystyle W}

são racionalmente equivalentes. Como exemplo, se

{\displaystyle X}

tem dimensão

{\displaystyle n}

, então

n − 1

( X )

{\displaystyle CH_{n-1}(X)}

identifica-se com o grupo de classes de divisores de

{\displaystyle X}

. Se

{\displaystyle X}

é suave sobre

{\displaystyle k}

(e, mais geralmente, normal e fatorial localmente noetheriano), esse grupo coincide com o grupo de Picard de fibrados em retas em

{\displaystyle X}

Exemplos de equivalência racional

Equivalência racional em espaço projetivo Em espaço projetivo é fácil produzir famílias de hipersuperfícies racionalmente equivalentes: dadas formas homogêneas

f , g

{\displaystyle f,g}

de grau

{\displaystyle d}

, com

f , g ∈

(

( d ) ) ,

{\displaystyle f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d)),}

considera-se a família definida por

s f + t g

{\displaystyle sf+tg}

e realiza-se esquematicamente como

X = Proj

(

[ s , t ] [

, ... ,

]

( s f + t g )

)

↪

{\displaystyle X=\operatorname {Proj} \!\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}.}

Pela projeção

: X →

{\displaystyle \pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}}

, a fibra sobre

[

]

{\displaystyle [s_{0}:t_{0}]}

é a hipersuperfície

f +

g = 0

{\displaystyle s_{0}f+t_{0}g=0}

. Usando uma especialização como

s f + t

{\displaystyle sf+t\,x_{0}^{d}}

, conclui-se que a classe de qualquer hipersuperfície de grau

{\displaystyle d}

é racionalmente equivalente a

d [

n − 1

]

{\displaystyle d[\mathbb {P} ^{n-1}]}

, pois o locus

= 0

{\displaystyle x_{0}^{d}=0}

n − 1

{\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}

com multiplicidade

{\displaystyle d}

Equivalência racional em curvas Se

{\displaystyle C}

é uma curva projetiva suave e

L ,

L ′

∈ Pic ⁡ ( C )

{\displaystyle L,L'\in \operatorname {Pic} (C)}

são fibrados em retas distintos, então, em geral, os divisores de zeros de seções genéricas

s ∈

( C , L )

{\displaystyle s\in H^{0}(C,L)}

s ′

∈

( C ,

L ′

)

{\displaystyle s'\in H^{0}(C,L')}

determinam classes distintas em

C H ( C )

{\displaystyle CH(C)}

. Isso reflete a identificação, em curvas suaves, entre classes de divisores e classes em

Pic ⁡ ( C )

{\displaystyle \operatorname {Pic} (C)}

O anel de Chow Se

{\displaystyle X}

é suave sobre

{\displaystyle k}

, define-se

( X )

{\displaystyle CH^{i}(X)}

como o grupo de Chow de ciclos de codimensão

{\displaystyle i}

. Se

dim ⁡ X = n

{\displaystyle \dim X=n}

, então

( X ) = C

n − i

( X )

{\displaystyle CH^{i}(X)=CH_{n-i}(X)}

. Os grupos

∗

( X )

{\displaystyle CH^{*}(X)}

formam um anel graduado comutativo com produto

( X ) × C

( X ) → C

i + j

( X ) .

{\displaystyle CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\to CH^{i+j}(X).}

O produto é induzido pela interseção de ciclos. Por exemplo, se

{\displaystyle Y}

{\displaystyle Z}

são subvariedades suaves de codimensões

{\displaystyle i}

{\displaystyle j}

que se intersectam transversalmente, então

[ Y ] ⋅ [ Z ]

{\displaystyle [Y]\cdot [Z]}

é representado pela soma das componentes irredutíveis de

Y ∩ Z

{\displaystyle Y\cap Z}

, todas de codimensão

i + j

{\displaystyle i+j}

. Em situações mais gerais, a teoria da interseção fornece representantes explícitos para

[ Y ] ⋅ [ Z ]

{\displaystyle [Y]\cdot [Z]}

. Em particular, Fulton e MacPherson constroem um elemento canônico nos grupos de Chow de

Y ∩ Z

{\displaystyle Y\cap Z}

cuja imagem em

∗

( X )

{\displaystyle CH^{*}(X)}

coincide com o produto, sem hipóteses de transversalidade.

Exemplos

Espaço projetivo O anel de Chow de

{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}

sobre qualquer corpo

{\displaystyle k}

∗

(

) ≅

[ H ]

(

n + 1

) ,

{\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),}

onde

{\displaystyle H}

é a classe de um hiperplano. Além disso, qualquer subvariedade

Y <

m a t h s u b s e t

{\displaystyle Y</mathsubset\mathbb {P} ^{n}}

de grau

{\displaystyle d}

e codimensão

{\displaystyle a}

é racionalmente equivalente a

{\displaystyle dH^{a}}

. Assim, para subvariedades

{\displaystyle Y}

{\displaystyle Z}

de dimensões complementares e graus

{\displaystyle a}

{\displaystyle b}

, vale

[ Y ] ⋅ [ Z ] = a

{\displaystyle [Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n},}

em que

{\displaystyle H^{n}}

é a classe de um ponto

{\displaystyle k}

-racional. Se

{\displaystyle k}

é algebricamente fechado e a interseção é transversal, obtém-se

a b

{\displaystyle ab}

pontos de interseção (contados com multiplicidade), uma forma do teorema de Bézout.

Fórmula do fibrado projetivo Se

E → X

{\displaystyle E\to X}

é um fibrado vetorial de posto

{\displaystyle r}

sobre um esquema suave e próprio

{\displaystyle X}

, o anel de Chow do fibrado projetivo associado

( E )

{\displaystyle \mathbb {P} (E)}

pode ser descrito em termos de

∙

( X )

{\displaystyle CH^{\bullet }(X)}

e das classes de Chern de

{\displaystyle E}

. Denotando

ζ =

(

( E )

( 1 ) )

{\displaystyle \zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))}

e por

, ... ,

{\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}}

as classes de Chern de

{\displaystyle E}

, há um isomorfismo de anéis

∙

(

( E ) ) ≅

∙

( X ) [ ζ ]

r − 1

r − 2

+ ⋯ +

{\displaystyle CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}.}

Superfícies de Hirzebruch Como exemplo, considere a superfície de Hirzebruch

(

⊕

( a ) )

{\displaystyle F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))}

sobre

{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}

. A única classe de Chern não trivial do fibrado de posto 2 é

= a H

{\displaystyle c_{1}=aH}

, donde

∙

(

) ≅

∙

(

) [ ζ ]

(

+ a H ζ )

≅

[ H , ζ ]

(

+ a H ζ )

{\displaystyle CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}.}

Observações Os grupos de Chow podem ter comportamento mais sutil em variedades gerais. Por exemplo, se

{\displaystyle X}

é uma curva elíptica sobre

{\displaystyle k}

, o grupo de Chow de zero-ciclos se encaixa numa sequência exata

0 → X ( k ) → C

( X ) →

→ 0.

{\displaystyle 0\to X(k)\to CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} \to 0.}

Logo

( X )

{\displaystyle CH_{0}(X)}

relaciona-se estreitamente ao grupo de

{\displaystyle k}

-pontos racionais

X ( k )

{\displaystyle X(k)}

. Se

{\displaystyle k}

é um corpo de números, esse grupo é chamado grupo de Mordell–Weil. Se

k =

{\displaystyle k=\mathbf {C} }

, há exemplos em que grupos de Chow podem ser grupos abelianos incontáveis.

Funtorialidade Se

f : X → Y

{\displaystyle f:X\to Y}

é um morfismo próprio, existe, para cada inteiro

{\displaystyle i}

, um homomorfismo de empurrão (pushforward)

∗

: C

( X ) → C

( Y ) .

{\displaystyle f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y).}

Em particular, para

{\displaystyle X}

próprio sobre

{\displaystyle k}

, obtém-se um homomorfismo

( X ) →

{\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }

que envia um ponto fechado

Spec ⁡ ( E ) <

m a t h s u b s e t X

{\displaystyle \operatorname {Spec} (E)</mathsubsetX}

ao seu grau

[ E : k ]

{\displaystyle [E:k]}

. Se

f : X → Y

{\displaystyle f:X\to Y}

é plano com fibras de dimensão

{\displaystyle r}

(possivelmente vazias), há um homomorfismo de puxão (homomorfismo de Gysin)

∗

: C

( Y ) → C

i + r

( X ) .

{\displaystyle f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X).}

Uma ferramenta fundamental de cálculo é a sequência de localização: para um esquema

{\displaystyle X}

sobre

{\displaystyle k}

e um subesquema fechado

Z ⊂ X

{\displaystyle Z\subset X}

, há uma sequência exata

( Z ) → C

( X ) → C

( X − Z ) → 0.

{\displaystyle CH_{i}(Z)\to CH_{i}(X)\to CH_{i}(X-Z)\to 0.}

Essa sequência estende-se à esquerda via a generalização dada pelos grupos de Chow superiores (homologia motivica de Borel–Moore). Se

f : X → Y

{\displaystyle f:X\to Y}

é um morfismo entre esquemas suaves sobre

{\displaystyle k}

, existe também um puxão

∗

: C

( Y ) → C

( X )

{\displaystyle f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)}

que é homomorfismo de anéis

∗

( Y ) → C

∗

( X )

{\displaystyle CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)}

Exemplos de puxões planos Em recobrimentos ramificados de curvas, as multiplicidades das fibras aparecem como coeficientes no puxão de classes de pontos. Por exemplo, num morfismo com ramificação acima de

{\displaystyle \alpha }

, com fatoração

g ( α , y ) = ( y −

)

⋯ ( y −

)

{\displaystyle g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}}

(com algum

> 1

{\displaystyle e_{i}>1}

), a fibra

− 1

( α ) = {

, ... ,

}

{\displaystyle f^{-1}(\alpha )=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}}

vem com multiplicidades

, ... ,

{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k}}

∗

[ α ] =

[

] + ⋯ +

[

] .

{\displaystyle f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha _{1}]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}].}

Em famílias planas

X → S

{\displaystyle X\to S}

, para

S ′

⊂ S

{\displaystyle S'\subset S}

, o diagrama cartesiano

S ′

→

↓

S ′

→

{\displaystyle {\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}

leva a

∗

[

S ′

] = [

S ′

X ] .

{\displaystyle f^{*}[S']=[S'\times _{S}X].}

Aplicações de ciclo Existem homomorfismos (aplicações de ciclo) dos grupos de Chow para teorias mais computáveis. Se

{\displaystyle X}

é um esquema sobre

{\displaystyle \mathbf {C} }

, há uma aplicação para a homologia de Borel–Moore:

C H

( X ) →

2 i

B M

( X ,

) ,

{\displaystyle {\mathit {CH}}_{i}(X)\to H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ),}

onde o fator 2 decorre do fato de que uma subvariedade complexa de dimensão

{\displaystyle i}

tem dimensão real

2 i

{\displaystyle 2i}

. Se

{\displaystyle X}

é suave sobre

{\displaystyle \mathbf {C} }

, pela dualidade de Poincaré obtém-se um morfismo

C H

( X ) →

2 j

( X ,

) ,

{\displaystyle {\mathit {CH}}^{j}(X)\to H^{2j}(X,\mathbf {Z} ),}

e, nesse caso, trata-se de um homomorfismo de anéis do anel de Chow para o anel de cohomologia. Para variedades projetivas suaves complexas, a aplicação de ciclo para cohomologia ordinária fatora através da cohomologia de Deligne, incorporando o morfismo de Abel–Jacobi para o jacobiano intermediário. Para um corpo arbitrário

{\displaystyle k}

, há um análogo em termos de (co)homologia étale de Borel–Moore; quando

{\displaystyle X}

é suave, isso pode ser identificado com um homomorfismo de anéis do anel de Chow para a cohomologia étale.

Relação com a K-teoria Se

{\displaystyle E}

é um fibrado vetorial algébrico sobre um esquema suave

{\displaystyle X}

, existem classes de Chern

( E ) ∈ C

( X )

{\displaystyle c_{i}(E)\in CH^{i}(X)}

com propriedades formais análogas às topológicas. Seja

( X )

{\displaystyle K_{0}(X)}

o grupo de Grothendieck dos fibrados vetoriais sobre

{\displaystyle X}

. No contexto do teorema de Grothendieck–Riemann–Roch, Grothendieck mostrou que o caráter de Chern induz um isomorfismo

( X )

⊗

≅

∏

( X )

⊗

{\displaystyle K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}CH^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .}

Esse resultado evidencia a centralidade da equivalência racional em comparação com outras relações de equivalência adequadas em ciclos.

Conjecturas Diversas conjecturas profundas da geometria algébrica e da teoria dos números relacionam-se aos grupos de Chow:

Em variedades sobre corpos de números, discute-se a finitude e o posto de grupos de ciclos sob relações como equivalência homológica e equivalência racional; conjecturas do tipo Bloch–Kato sobre valores especiais de funções L prevêem propriedades de finitude e relações com ordens de anulação. Para variedades projetivas suaves complexas, a conjectura de Hodge descreve a imagem (após tensoriar com

{\displaystyle \mathbf {Q} }

) da aplicação de ciclo para cohomologia singular. Para variedades suaves projetivas sobre corpos finitamente gerados, a conjectura de Tate descreve a imagem (após tensoriar com

{\displaystyle \mathbf {Q} _{\ell }}

) da aplicação de ciclo para a Cohomologia p-ádica. A conjectura de Bloch–Beilinson prevê a existência de uma filtração nos grupos de Chow (com coeficientes racionais) com fortes consequências, conectando cohomologia singular/étale e grupos de Chow. Como exemplo, se

{\displaystyle X}

é uma superfície projetiva suave complexa, o homomorfismo grau envia

( X )

{\displaystyle CH_{0}(X)}

sobre

{\displaystyle \mathbf {Z} }

; seja

{\displaystyle K}

o seu núcleo. Se o gênero geométrico

( X ,

)

{\displaystyle h^{0}(X,\Omega ^{2})}

é não nulo, Mumford mostrou que

{\displaystyle K}

é “infinito-dimensional” num sentido preciso. A conjectura de Bloch–Beilinson implicaria uma recíproca (conjectura de Bloch sobre zero-ciclos): para superfícies com gênero geométrico zero,

{\displaystyle K}

deveria ser finito-dimensional e ligar-se à variedade de Albanese.

Variantes

Teoria bivariante Fulton e MacPherson estenderam a teoria para variedades singulares introduzindo o anel de Chow operacional e, mais geralmente, uma teoria bivariante associada a um morfismo de esquemas. Uma teoria bivariante combina funtores covariantes e contravariantes, generalizando a ideia de uma teoria de cohomologia. Outras teorias (como cohomologia motivica) admitem aplicações para o anel de Chow operacional.

Outras variantes Os grupos de Chow aritméticos combinam grupos de Chow de variedades sobre

{\displaystyle \mathbf {Q} }

com dados de tipo arakeloviano (por exemplo, formas diferenciais no espaço complexo associado). A teoria estende-se de esquemas para espaços algébricos de tipo finito sobre um corpo, o que é útil para quocientes e para definir grupos de Chow equivariantes. Uma extensão mais delicada é a de pilhas (stacks), necessária, por exemplo, para definir uma classe fundamental virtual em geometria enumerativa.

História A equivalência racional de divisores (equivalência linear) foi estudada no século XIX, levando a construções como o grupo de classes de ideais na teoria algébrica dos números e a variedade jacobiana na teoria de curvas. Para ciclos de codimensão maior, a equivalência racional foi introduzida por Francesco Severi na década de 1930. Em 1956, Chow demonstrou que o produto de interseção é bem definido em ciclos módulo equivalência racional para variedades quase-projetivas suaves, usando o lema de movimento de Chow. A partir da década de 1970, Fulton e MacPherson estabeleceram a fundação moderna, tratando variedades singulares quando possível e construindo o produto de interseção em variedades suaves via deformação ao cone normal.

Ver também Teoria da interseção Teorema de Grothendieck–Riemann–Roch Conjectura de Hodge Motivo (geometria algébrica)

Referências

Bibliografia introdutória Eisenbud, David; Harris, Joe. 3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry. [S.l.: s.n.]

Bibliografia avançada Bloch, Spencer (1986). «Algebraic cycles and higher K-theory». Advances in Mathematics. 61 (3): 267–304. MR 0852815. doi:10.1016/0001-8708(86)90081-2 Claude, Chevalley (1958). «Les classes d'équivalence rationnelle, I». Anneaux de Chow et applications. Col: Séminaire Claude Chevalley. 3. [S.l.: s.n.] pp. 1–14 Claude, Chevalley (1958). «Les classes d'équivalence rationnelle, II». Anneaux de Chow et applications. Col: Séminaire Claude Chevalley. 3. [S.l.: s.n.] pp. 1–18 Chow, Wei-Liang (1956). «On equivalence classes of cycles in an algebraic variety». Annals of Mathematics. 64 (3): 450–479. JSTOR 1969596. MR 0082173. doi:10.2307/1969596 Deligne, Pierre (1977). Cohomologie Etale (SGA 4 1/2). [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08066-4. MR 0463174 Fulton, William (1998). Intersection Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98549-7. MR 1644323 Severi, Francesco (1932). «La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica». Commentarii Mathematici Helvetici. 4: 268–326. JFM 58.1229.01. doi:10.1007/bf01202721 Voevodsky, Vladimir (2000). «Triangulated categories of motives over a field». Cycles, Transfers, and Motivic Homology Theories. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 188–238. ISBN 9781400837120. MR 1764202 Voisin, Claire (2002). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 vols.). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71801-1. MR 1997577

Grupos de Chow

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