Em matemática, uma série hipergeométrica elíptica é uma série Σcn tal que a razão cn/cn−1 é uma função elíptica de n, análoga à série hipergeométrica generalizada, onde a razão é uma função racional de n, e à série hipergeométrica básica, onde a razão é uma função periódica do número complexo n. Elas foram introduzidas por Date-Jimbo-Kuniba-Miwa-Okado (1987) e Frenkel & Turaev (1997) em seu estudo dos símbolos 6-j elípticos. Para revisões sobre séries hipergeométricas elípticas, veja Gasper & Rahman (2004), Spiridonov (2008) ou Rosengren (2016).
Definições O símbolo q-Pochhammer é definido por
( a ; q
)
n
=
∏
k = 0
n − 1
( 1 − a
q
k
) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a
q
2
) ⋯ ( 1 − a
q
n − 1
) .
{\displaystyle \displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}).}
(
a
1
,
a
2
, ... ,
a
m
; q
)
n
= (
a
1
; q
)
n
(
a
2
; q
)
n
... (
a
m
; q
)
n
.
{\displaystyle \displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}
A função teta de Jacobi modificada com argumento x e nome p é definida por
θ ( x ; p ) = ( x , p
/
x ; p
)
∞
{\displaystyle \displaystyle \theta (x;p)=(x,p/x;p)_{\infty }}
θ (
x
1
, . . . ,
x
m
; p ) = θ (
x
1
; p ) . . . θ (
x
m
; p )
{\displaystyle \displaystyle \theta (x_{1},...,x_{m};p)=\theta (x_{1};p)...\theta (x_{m};p)}
O fatorial deslocado elíptico é definido por
( a ; q , p
)
n
= θ ( a ; p ) θ ( a q ; p ) . . . θ ( a
q
n − 1
; p )
{\displaystyle \displaystyle (a;q,p)_{n}=\theta (a;p)\theta (aq;p)...\theta (aq^{n-1};p)}
(
a
1
, . . . ,
a
m
; q , p
)
n
= (
a
1
; q , p
)
n
⋯ (
a
m
; q , p
)
n
{\displaystyle \displaystyle (a_{1},...,a_{m};q,p)_{n}=(a_{1};q,p)_{n}\cdots (a_{m};q,p)_{n}}
A série hipergeométrica teta r+1Er é definida por
r + 1
E
r
(
a
1
, . . .
a
r + 1
;
b
1
, . . . ,
b
r
; q , p ; z ) =
∑
n = 0
∞
(
a
1
, . . . ,
a
r + 1
; q , p
)
n
( q ,
b
1
, . . . ,
b
r
; q , p
)
n
z
n
{\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}E_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r+1};q,p)_{n}}{(q,b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}
A série hipergeométrica teta muito bem balanceada (very well poised) r+1Vr é definida por
r + 1
V
r
(
a
1
;
a
6
,
a
7
, . . .
a
r + 1
; q , p ; z ) =
∑
n = 0
∞
θ (
a
1
q
2 n
; p )
θ (
a
1
; p )
(
a
1
,
a
6
,
a
7
, . . . ,
a
r + 1
; q , p
)
n
( q ,
a
1
q
/
a
6
,
a
1
q
/
a
7
, . . . ,
a
1
q
/
a
r + 1
; q , p
)
n
( q z
)
n
{\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}V_{r}(a_{1};a_{6},a_{7},...a_{r+1};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\theta (a_{1}q^{2n};p)}{\theta (a_{1};p)}}{\frac {(a_{1},a_{6},a_{7},...,a_{r+1};q,p)_{n}}{(q,a_{1}q/a_{6},a_{1}q/a_{7},...,a_{1}q/a_{r+1};q,p)_{n}}}(qz)^{n}}
A série hipergeométrica teta bilateral rGr é definida por
r
G
r
(
a
1
, . . .
a
r
;
b
1
, . . . ,
b
r
; q , p ; z ) =
∑
n = − ∞
∞
(
a
1
, . . . ,
a
r
; q , p
)
n
(
b
1
, . . . ,
b
r
; q , p
)
n
z
n
{\displaystyle \displaystyle {}_{r}G_{r}(a_{1},...a_{r};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r};q,p)_{n}}{(b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}
Definições de séries hipergeométricas elípticas aditivas Os números elípticos são definidos por
[ a ; σ , τ ] =
θ
1
( π σ a ,
e
π i τ
)
θ
1
( π σ ,
e
π i τ
)
{\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{\pi i\tau })}}}
onde a função teta de Jacobi é definida por
θ
1
( x , q ) =
∑
n = − ∞
∞
( − 1
)
n
q
( n + 1
/
2
)
2
e
( 2 n + 1 ) i x
{\displaystyle \theta _{1}(x,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}e^{(2n+1)ix}}
Os fatoriais deslocados elípticos aditivos são definidos por
[ a ; σ , τ
]
n
= [ a ; σ , τ ] [ a + 1 ; σ , τ ] . . . [ a + n − 1 ; σ , τ ]
{\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]}
[
a
1
, . . . ,
a
m
; σ , τ ] = [
a
1
; σ , τ ] . . . [
a
m
; σ , τ ]
{\displaystyle [a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]}
A série hipergeométrica teta aditiva r+1er é definida por
r + 1
e
r
(
a
1
, . . .
a
r + 1
;
b
1
, . . . ,
b
r
; σ , τ ; z ) =
∑
n = 0
∞
[
a
1
, . . . ,
a
r + 1
; σ , τ
]
n
[ 1 ,
b
1
, . . . ,
b
r
; σ , τ
]
n
z
n
{\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}
A série hipergeométrica teta aditiva muito bem balanceada r+1vr é definida por
r + 1
v
r
(
a
1
;
a
6
, . . .
a
r + 1
; σ , τ ; z ) =
∑
n = 0
∞
[
a
1
+ 2 n ; σ , τ ]
[
a
1
; σ , τ ]
[
a
1
,
a
6
, . . . ,
a
r + 1
; σ , τ
]
n
[ 1 , 1 +
a
1
−
a
6
, . . . , 1 +
a
1
−
a
r + 1
; σ , τ
]
n
z
n
{\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}
Referências
Bibliografia Frenkel, Igor B.; Turaev, Vladimir G. (1997), «Elliptic solutions of the Yang-Baxter equation and modular hypergeometric functions», The Arnold-Gelfand mathematical seminars, ISBN 978-0-8176-3883-2, Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 171–204, MR 1429892 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, ISBN 978-0-521-83357-8, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 2a ed. , Cambridge University Press, MR 2128719 Spiridonov, V. P. (2002), «Theta hypergeometric series», Asymptotic combinatorics with application to mathematical physics (St. Petersburg, 2001), NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., 77, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 307–327, Bibcode:2003math......3204S, MR 2000728, arXiv:math/0303204 Spiridonov, V. P. (2003), «Theta hypergeometric integrals», Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Algebra i Analiz, 15 (6): 161–215, Bibcode:2003math......3205S, MR 2044635, arXiv:math/0303205, doi:10.1090/S1061-0022-04-00839-8 Spiridonov, V. P. (2008), «Essays on the theory of elliptic hypergeometric functions», Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 63 (3): 3–72, Bibcode:2008RuMaS..63..405S, MR 2479997, arXiv:0805.3135, doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004533 Warnaar, S. Ole (2002), «Summation and transformation formulas for elliptic hypergeometric series», Constructive Approximation, 18 (4): 479–502, MR 1920282, arXiv:math/0001006, doi:10.1007/s00365-002-0501-6
Leitura adicional Spiridonov, V. P. (2013). «Aspects of elliptic hypergeometric functions». In: Berndt, Bruce C. The Legacy of Srinivasa Ramanujan Proceedings of an International Conference in Celebration of the 125th Anniversary of Ramanujan's Birth; University of Delhi, 17-22 December 2012. Col: Ramanujan Mathematical Society Lecture Notes Series. 20. [S.l.]: Ramanujan Mathematical Society. pp. 347–361. Bibcode:2013arXiv1307.2876S. ISBN 9789380416137. arXiv:1307.2876 Rosengren, Hjalmar (2016). «Elliptic Hypergeometric Functions». arXiv:1608.06161 [math.CA]
