Em geometria diferencial, uma superfície mínima triplamente periódica (TPMS) é uma superfície mínima em
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
que é invariante sob uma rede de translações de classe 3. Essas superfícies possuem as simetrias de um grupo cristalográfico. Numerosos exemplos são conhecidos com simetrias cúbicas, tetragonais, romboédricas e ortorrômbicas. Exemplos monoclínicos e triclínicos certamente existem, mas provaram ser difíceis de parametrizar. Os TPMS são relevantes nas ciências naturais. Os TPMS foram observados como membranas biológicas, como copolímeros em bloco, superfícies equipotenciais em cristais etc. Seus aproximantes foram usados para modelar substitutos ósseos. Eles também têm sido de interesse na arquitetura, design e arte.
Propriedades Quase todos os TPMS estudados estão livres de autointerseções (ou seja, incorporados em
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
): de um ponto de vista matemático, são as mais interessantes (já que superfícies autointersecantes são trivialmente abundantes). Todos os TPMS conectados têm gênero ≥ 3, e em cada rede existem TPMS embutidos orientáveis de todo gênero ≥3. Os TPMS embutidos são orientáveis e dividem o espaço em dois subvolumes disjuntos (labirintos). Se forem congruentes, a superfície é dita ser uma superfície de equilíbrio.
História
Os primeiros exemplos de TPMS foram as superfícies descritas por Schwarz em 1865, seguidas por uma superfície descrita por seu aluno ER Neovius em 1883. Em 1970, Alan Schoen propôs 12 novas TPMS baseadas em grafos de esqueleto que abrangem células cristalográficas. Embora as superfícies de Schoen tenham se tornado populares nas ciências naturais, a construção não se prestava a uma prova matemática de existência e permaneceu amplamente desconhecida na matemática, até que H. Karcher provou sua existência em 1989. Usando superfícies conjugadas, muitas outras superfícies foram encontradas. Embora as representações de Weierstrass sejam conhecidas para os exemplos mais simples, elas não são conhecidas para muitas superfícies. Em vez disso, métodos da geometria diferencial discreta são frequentemente usados.
Generalizações Superfícies mínimas periódicas podem ser construídas em S 3 e H 3. É possível generalizar a divisão do espaço em labirintos para encontrar superfícies mínimas triplamente periódicas (mas possivelmente ramificadas) que dividem o espaço em mais de dois subvolumes.
Referências
